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T, T', T"... sonl des valeurs que prennent X ,-^— , -r-^ etc... 

 lorsque ii^=.o. 



Reinpla^ant dans le developpemenl precedent u par ^f{^ 

 on trouvera : 



I T(''-') r , T(") r . 



-f-— 5 ^ /a. -| T^ ^ 7-4. -I-. . . 



Cela pose, le tlieoreme de Biirman consiste a prouver qu'on 



a identiquement ^ — =: t lorsqu on tail u-=.o 



et par suite z-=:o. 



Pour demontrer le theorerae, derivons X par rapport a z 

 et divisons ensuite par /(s) que nous representerons par Z. 



Nous aurons : 



^z 'Zi")~'Z"dz^ ^^^ i.iZ"dz^"' ^J'^- • •"<"i.2.3...Z"' </z 



Si nous derivons ji — i fois les deux membres par rap- ^ 



port a 2 , et que nous posions s =: o , il est clair qu'il sera \ 



inutile de tenircompte des termes du rang (?i-{-i),{ii-\-2),... 

 parce queces termes contenant en facteur z", i^^"+'\.. seront 

 nuls apres les differentiations si on pose z = o. Mais si on 



considere un terme : ^ 75 — r-(z''.Z'') dans lequel p 



1.-2.3.. ,p.Z"dz^ J ^ r 



plus petit ou egal a /i— i, nous pouvons poser : n-=.p-\-k 

 et w — I =:p-j-/t— I. Si nous effectuons une premiere dif- 

 ferentiation indiquee sur le terrae precedent, il deviendra : 



(pzJ'~^Tr^-\-pz^Tj~^~^TJ'). si nous derivons ce 



1 .2.3 . .p. ^^ ' ^ ^ 



terme /> -j- A" — I fois par rapport a z et qu'on pose r=ro, 



on trouvera zero. En effet nous savons que 



d'"{a.h)=(l'' a.h^md''^--^ a.dh-\- '''^"'~'^ it-^a.dh\,. 



