DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 27 



Etablissons la condition pour que/' (a) soit plus approchee 

 que a de la racine cherchee que nous designerons par x. 

 A cet eflet, remarquons que Ton a, quel que soit /(.x), 



/(^ = /-(a)-K*-«)[/'(«) + s], 

 s lendant vers zero avec x — a. 



A cause de x =f (x), cette egalite devient : 



X-f(*) = (x-«)[J>(a) + z\. 



Or, si a est assez rapproche de x pour que Ton poisse 

 negliger e , on voit que x — f(a) ne sera < x ' — a, en va- 

 leur absolue, que si 1 on a :/' (a) < i , aussi en valeur abso- 

 lue. De la cette regie : si pour une valeur suftisamment 

 approchee de la racine, ou pour des valeurs qui s'en rappro- 

 chent de plus en plus, la derivee de/(x) est toujours nume- 

 riquement plus petite que l'unite, la rnethode des approxi- 

 mations successives finira toujours par etre applicable. Au 

 contraire , si cette derivee est plus grande que l'unite ou tend 

 a le devenir, a mesure qu'on s'approche de la racine, la rne- 

 thode n'esl pas applicable. 



Quant a la connaissance de la valeur de a a partir de la- 

 quelle la rnethode sera applicable , quand le caractere prece- 

 dent sera salisfait, elle dependra de la determination de e, 

 qui pourra s'obtenir a l'aide des derivees des ordres supe- 

 rieurs; mais ordinairement on pourra regarder e corarae du 

 meme ordre de grandeur que x — a. 



3. La condition algebrique qui indique si la rnethode 

 des approximations successives est ou n'est pas applicable , 

 est succeptible d'etre interpreted par la geometric 



En effet, les racines de l'equation : x=f(x) sont don- 

 nees par les intersections de la courbe y=if(x) et de 

 la bissectrice de Tangle des axes/ = x;/"(a) estTordonnee 

 de la courbe qui correspond a .xz=a. Puisqu'on prend cette 

 ordonnee pour la valeur de x dans la nouvelle substitution. 



