DE L'ACADEMIE UES SCIENCES. 21) 



i'assc avec l'axc des x un angle nioindre que 45°. La seule 

 difficulte pourrait provenir de ee que Ton ne connait pas les 

 coordonnees du point de tangence. Mais si Ton remarque que 

 le systeme : / = x,f = f(x) peut elre remplace par le 

 svstrme equivalent :y — x,y — \y — x —\) (x), on voit 

 que Ton pent remplacer l'equation x —f{x) par Fequalion 



equivalente: x— X ~~ *' }' r ' ., ce qu'on verifie d'ailleurs imme- 



diatement. 



Cela pose, on pourra appliquer la methode des approxi- 

 mations successives acelte derniere equation, si la derivee du 

 second raembre est numeriquement plus petite que 1 unite, 

 pour des valeurs de x voisines de la racine cherchee. 



5. /' (x) etant suppose plus grand que l'unite , en gran- 

 deur absolue , pour des valeurs de x voisines de la racine 

 cherchee, il y a a distinguer deux cas, suivant le signe de 

 cetle derivee. 



Soit i°J' (x) > o, on rendra -^— - — positif et < i , 



si Ton prend 1 < jtt^ ] , car l - * sera positif , puisque 



f (x) > i , et, pour la meme raison, \ —\f (x) sera 

 aussi positif et < i — X. 



Soit 2° /' (x)< o , changeons \ en — V, il vient l'expres- 

 sion : 



I -4- A ' f (v) 



— ^ — , , qui est evidemment positive et < i pour toute 

 valeur de 1' positive , inferieure a _ . 



Ainsi, dans tous les cas, on pourra prendre pour X une 

 quantite de meme signe que_/' (x) et dont la valeur absolue 

 soit plus petite que l'inverse de cette derivee. 



6. Nous allons appliquer a quelques exemples les principes 

 precedents, en choisissant de preference ceux deja traites 

 par d'autres methodes dans les ouvrages d'algebre. 



