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devra elre identiquement salisfaile. Par suite ses coefficients 

 egales a zero fourniront par des relations du premier degre 

 les valours de b l b t . . ./;,„. 



Si on donnait ['equation differentielle lineaire (2jet si on 

 voulait transformer eette equation en une autre equivalent 

 du premier ordre el du degre /«, le probleme serait le plus 

 smivent impossible , parce qu'il exigerait ['integration d'equa- 

 tions simultanees tres-compliqnees. On concoit neanmoins 

 cette substitution de l'equation de forme algebrique (1) a 

 ['equation (2) toujours possible : en cffet, l'equation lineaire 

 d'ordre i/i peut etre decomposee en equations lineaires du 



premier ordre de la forme — — A;=o, d'ou se deduisent 

 les facleurs; -——A de l'equation (1). 



1° Remarquons que si les coefficients e/.tf,. . . de l'equa- 



... d u i '1 v 



lion (1) sont constants, — ou - — sera constant et que par 



suite la transformation de l'equation (1) dans l'equation (2) 

 donnera a l =b l a^—b^. . .consideration qui fait dependre 

 ['integration connue d'une equation differentielle lineaire a 

 coefficients constants, d'une metliode plus generale qui con- 

 siste a determiner, si cela est possible, l'equation algebrique 

 a coefficients variables equivalente a l'equation differentielle. 



2" Remarquons aussi que si les coefficients de l'equation 

 (1) sont des fonctions algebriques entieres de la forme : 

 a-\-$x-\-8x* . . . , les coefficients de l'equation (2), b^^. .. 

 ne pourronl etre que des fonctions rationnelles de x\ et 

 comme on peut varier a l'infini les coefficients de l'equation 

 (1), ceux de l'equation (2) representeront une infinite 

 d'equations differentielles lineaires a coefficients variables et 

 de forme algebrique rationnelle, et on voit que ['integration 



