DE I. ACADEMIE DES SCIENCES. 187 



THEOREME DE CALCUL INTEGRAL; 



Par M. E. BRASSIXNE. 



Th£or£me. \° Si on connait l'integrale complete d'une 

 equation differentielle lineaire d'ordre p, ct si cette inte- 

 grale satisfait a line seconde equation lineaire d'ordre m-\-p, 

 l'integrale complete de cette derniere s'obtiendra immedia- 

 temeut sous forme de quadratures, en integrant une equa- 

 tion lineaire d'ordre m. 



2° L'integrale de l'equation differentielle d'ordre m-\-p 

 sera une fonction des m-\- 1 premiers coefficients de cette 

 equation, et des integrates particulieres de l'equation diffe- 

 rentielle d'ordre p. 



Demonstration. Si l'equation differentielle lineaire X =o 

 d'ordre p , a ses solutions communes avec l'equation lineaire 

 X m+ =o d'ordre (m-|-y>), cette derniere prendra la forme 



(') X„ + „=^,(\)+K^(\)+- • • + A,„(X,)=o 



en supposant les coefficients des ordres les plus eleves dans 

 lcs deux equations , egaux a l'unite. L'integrale de cette 

 derniere equation pourra s'ecrire ainsi : 



(2) ^=c l f l (x)+c a f,(x)+...c m f m 'x)=F(x). 



Mais le premier membre X^ a une integrate complete sup- 

 posed connue tf,7' 1 -|-tf a J' 3 — h r W/'- P ar Sll it e ^ l'integrale 

 complete de l'equation (2), en tenant comple du second 

 membre sera, d'apres une formule que j'ai donnee : 



