DB l'aCADEMIE DES SCIENCES. 309 



grands geometres. . . la question se trouve done ramenee a 



l'etude des fonctions r. 



Dans le memoire que je viens de rappeler figure une 



fonclion intermediate qui sert a relier jj.(x) et F(x), fonc- 



tion que j'ai designee par <p(x) et dont voici la definition 



algebrique : 



i i i 



<p(x)=.p{x).f*(x*)./x.(x' i ).ft(x'-<>) 



Le but du travail que je soumets a l'Academie est d'eta- 

 blir des relations entre le produit des nombres naturels 

 eleves a de certaines puissances et le produit des nombres 

 premiers eleves a des puissances analogues : e'est done une 

 generalisation du travail publie dans le journal de M. Liou- 

 ville. 



On sera sans doute frappe, dans le courant de cet ouvrage, 

 de l'extreme symetrie des resultats et de la simplicite pres- 

 que elementaire des demonstrations. 



Etablissons quelques definitions ; soient : 



ira 2 m 3m 4m 5m 6"> 



F(x)=i.2.3.4.5.6 



m 



2 m 3m 5m 7 m ,,m 



fc(x)=: 2.3.5.7. 11 



1 I I 



<p{x)=.^{x).fc{X~).ft{x i ).fc{X^). . . 

 m m 2 m 3 /« 4 m 



Quand il s'agira de relations generales, quel que soit m, 

 nous designerons les fonctions F (<%■), 9(x), p.(x) par les 



m m m 



initiales F, <p et ja. Nous dirons, par exemple : les fonctions 

 p. peuvent s'exprimer au moyen des fonctions F par l'inter- 

 mediaire des fonctions 9. Cela pose , etudions d'abord les 

 relations des fonctions F entre elles et les proprietes relati- 

 ves a ces fonctions. 



