DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 311 



Or, en faisant le produit de toutes les lignes horizontales 

 entre elles, nous aurons evidemment : F 9 (9); mais si nous 

 faisons le produit des facteurs contenus dans le triangle 

 ABC, nous aurons : 



i. 2.2. 3.3.3. 4-4 -4-4 — F,(g); 



d'aulre part, la ligne diagonale ab donne le produit : 



1.3.3.4.5.6.7.8 = F(g— 1); 

 la ligne diagonale a' b' donne : 



i.2.3.4.5.6.7=F(g — 2); 



la ligne diagonale a"b" donne : 



i.2.3.4.5.6=F(9— 3) 



et ainsi des autres; en sorte qu'on aura bien : 



< 9 (9) = F l ( 9 ).F ( 9 -i).F (9-2).F (9-3).F (9-4).F (9-5).F (9-6).F 

 et en general : 



F X (x)=F 1 (.x).F (r;-i).F f.r-2).F (x-3) F (a). 



mais ce theoreme peut etre generalise , et on aura , quel que 

 soit m : 



F'(x) = F(a;).F(.r— i).F(x— 2) F(a). 



m m -\- 1 in m m 



La demonstration est d'ailleurs exactement la merae que 

 ci-dessus : nous ne la repeterons pas. 



Remarquons que, dans cette formule , m peut recevoir une 

 valeur entiere quelconque positive ou negative. 



Quand m est positif , on voit qu'il n'y aura aucune difti- 

 culte a exprimer F„, (x) en fonction de F m _ 1 (x), et de pro- 

 che en proche on arrivera a exprimer ¥ m (x) au moyen de 

 F (x). Mais quand m est negatif, il est plus difficile de de- 

 gager l'inconnue qui figure un grand nombre de fois dans 

 les deux membres. 



Mais au lieu de considerer les fonctions F elles-memes , 



