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C m sera la limite de logF_„,(jc). II est a peine besoin 

 d'indiquer qu'on aura : 



C, > C 3 > C 4 > 



En resuniant ce que nous venons d'etablir relativement aux 

 degres de logF(.a?) nous aurons le tableau suivant : 



^m -f- 1 



Pour m > o ou : — o Ic i er terrae de logF„, (x) est : — lotrx 



m-{-i 



loc a X 

 Pour m — — i le i er terme de logF,„(.r) est : 



Pour m < — i le i er terme de logF„,(x) est une constaute C M 



Nous allons maintenant passer a l'etude des proprietes des 

 fonctions <p et [/.. 



Etude des fonctions <p et p. 



II y a entre y m (x) et F„,(.r) une relation extremement 

 remarquable et que voici : 



logF(a;) = logf(.r)+3log^ I -J + 3 log? ( - J +4 log <p \-M- ■ ■ 



et celte relation subsiste quel que soit m positif ou negatif, 

 pourvu seulement qu'il soit entier. Si on fait mz=o, on 

 trouve : 



log F(*) = log ?>(>:) -flog ? - + lo g? > - + log ^ 



o o o\-V oV^/ o\4 



tbeoreme que nous avons demontre dans le xix me volume 

 du journal de M. Liouville. 



Commenvons par demontrer que : 



log F {x)= log 9 (*) + 2 log <p f |j + 3 log <p ( t j -f- 4 log <p (- J + . . . 



et pour cela cherchons a exprimer F, (.r) an moyen des 

 fonctions (/.. 



