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mais : 2e ne peul fournir de tenne en x" si la somme 



3 

 X* X 3 . x4 



-y+-7- + -r-+ n'en fournit pas, or cette somme eHe- 



merae est in fori en re a 



■ i i i 



tx 1 x* x* x* , 1 .4-i, I + l 



done le premier terme de la somme 2,\ogu.„(a*) est infe- 



> + — . . X 1 



neur a x 2 logx qui lui-meme est inferieur a — ce qui 

 demontre le theoreme enonce dans le cas de w>o. Si 

 m = o on tronve encore facilement que le premier terme de 

 logp. (.r) est le meme que celui de log<p (x). 

 Pour /;? — —i cela est evident car : 



log ft (x) > log <? (X) — 2 log $ (X~) 



— I —I —2 



log,w(x, N < log ? (x)— logp(x*j 



Ainsi,en nousresumant, nous pouvons encore inscrire pour 

 les degres de log[x,„(x), les rcsultals suivants : 



X m ~^~ l 



Pour m > o, on a pour le i er terme de log u(x) : 



— ,„ w-r-i 



Pour /» = — i , on a logx 



Pour m < — i , on a c'. 



Des principes que nous venons d'etablir on peut tirer tin 

 grand nombre de theoremes qu r il serait bien difficile de 

 demontrer autrement ; nous n'en citerons que deux pour 

 donner une idee de ce genre de resultats. 



1° Le premier terme de la somme des quarre's des loga- 

 rithmes des nombres naturels est: jc log* .x. 



Ce theoreme, deja mentionne ci-dessus, resulte des re- 

 lations suivantes : 



5 e s. —TOME i. 22 



