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DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 1 

RECHERCHE 
D'UNE FONCTION RATIONNELLE ET ENTIÈRE DE Æ QUI 
SATISFASSE A L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 
By Ay 
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dx? L+pr+q 
Par M. MOLINS. 
Cette équation rentre dans la suivante : 
(as Hat) + (e2+f) T+sy= 0, 
dont M. Liouville, dans un remarquable Mémoire inséré 
au 21e cahier du Journal de l'Ecole polytechnique, a déter- 
miné l'intégrale à l’aide des différentielles à indices quel- 
conques. Lorsque A est le produit de deux nombres entiers 
consécutifs, elle constitue un cas spécial qui mérite d’être 
signalé, parce qu’elle possède une intégrale particulière de 
forme algébrique et entière. C’est ce que nous allons établir 
en cherchant à développer y en série, ce qui donnera deux 
intégrales particulières, dont l’une sera composée d’un 
nombre limité de termes, l’autre d’un nombre illimité. De 
à résultera d’ailleurs un nouveau moyen d'intégration de 
l'équation différentielle , car d’une intégrale particulière , 
supposée connue, on déduit sans difficulté l'intégrale géné- 
rale. On verra en outre comment cette intégrale particulière 
peut servir à former le terme général du développement de 
Le 
la quantité (R°—2Rrx+r") = suivant les puissances crois- 
santes de r, en supposant r < R; on sait que cette quantité, 
que nous désignerons par p, étant considérée comme une 
