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(3) "2 (M cos’ + N sin? @)+ y"? (M sin? » Æ N cos? © )+ 
+22" y" sin o cos & (N—M)= 1. 
Si on donne M, N, cette équation ne renfermera que l'in- 
déterminée ©. Posons 4 M cos o+N sin’w, & aura pour 
limites supérieure et imférieure M, N, en supposant M >N. 
On comprend d’ailleurs sans peine que l'équation (3) pren- 
dra la forme simple : 
(4) ux'?Æ(MÆN—u)y +0 y /(M—u)(u—N)= 1. 
Cette dernière, identifiée à (2), donne : 
MÆN—P"— LP 0e | P— 
P+P'—Pp"— 
MEN P'— 7 
(5) (rw) (u— 1") (P — u) + (u —M)(u — N)—=o. 
COS 
Ces relations d'identité prouvent d’abord que si on sup- 
pose, ce qu’or peut toujours faire, P>P/>P", on doit avoir 
M+N>P+P’, u>P', u<P. 
Or, on peut satisfaire à la première de ces inégalités en 
supposant N<P'M>P'<P. Dans ce cas, l'équation du 
troisième degré (), qui se réduit au premier, aura une racine 
u comprise entre P’ et M, laquelle fournira par suite pour © 
un angle réel ; cela résulte de ce que le premier membre de 
l'équation, qui est négatif depuis #=P” jusqu'à w = P”’, 
devient positif pour #=M ; et que d’ailleurs, par la nature 
du système rectangulaire, M ne peut pas dépasser P,etNne 
peut pas être au-dessous de P”. Enfin, si on satisfaisait 
aux conditions d’inégalité précédentes en supposant N >P” 
et M<P, on verrait que les valeurs de z sont entre N et P’ 
et entre M, P, et que par suite l'angle o est imaginaire. 
3 On arrive, dans un système oblique, à la forme 
x? y? Lan 2 Æ 5 Me ; A 
tt pour l'équation de lellipsoide; nous pou- 
