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La démonstration de ces théorèmes est en tous points 

 semblable à celle que nous avons indiquée dans le cas 

 des scmi- invariants (*) : nous nous dispenserons de 

 la reproduire, afin de ne pas étendre celte Note outre 

 mesure. 



Au moyen du premier théorème énoncé ci-dessus, on 

 peut établir qu'une fonction entière et homogène a est une 

 fonction semi-invariante de première espèce, si elle se 

 reproduit multipliée par un fadeur numérique^ quand on 

 effectue la transformation (S). 



Il est d'abord visible que o- est une fonction isobarique; 

 de plus, si on réduit la transformation (S) à 



Xi = Xi -t- ^Xi+„ xt = Xi (fc ^ i), 

 la transformée de c- est 



0- = (7 H (t -i- \ .l] a -\ (l -+- i a) 0- -+- ••• ; 



1 1 . ti 



c'est ce qui résulte des formules (2) et (3); d'après l'énoncé, 

 la quantité o-' doit être égale à o-, à part un facteur qui 

 dépend seulement de ^. 



Si l'on se reporte à la formule (5), on voit que les fonc- 

 tions (7, [i H- \,i) (7, (ï -1- 1 . i)-(7, ... ont des poids diflerents 

 pour l'indice i; conséquemment, on a {i -h \.i)<j = 0, 

 pour i = i,% ...n — 1 ; et la fonction a est une fonction 



(') Suj' la (jcnéralisaliou des semi-invariants. [Mém. couronnés et 

 Méin. des Savants étrangers, publiés par TAcad., t. Ll (in-4°)]. 



