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Soient pi, p,» •••/>ni les poids de la fonction 9 pour les 

 indices 1, 2, ... w; nous démontrerons le théorème suivant : 

 la fonction cj> est exprimable comme somme de produits de 

 facteurs ^i, (^2, — <^n> "^o» <^i, — ^n-i ^i de formes linéaires 

 telles que a,t : chacun des produits contient p; — p;^, déter- 

 minants Jj ou d'i [i = 1, 2, 5, ... n — 1]. 



Cet énoncé se vérilie immédiatement pour N = i, 

 M=0, car le seul semi-invariant du premier degré, 

 pour la forme a^, est a, (ce qui est un déterminant d^). 

 Pour établir le théorème dans le cas général, nous le sup- 

 poserons exact pour N = v, M == p-, et nous le vérifierons 

 pour le cas de N = V -f- 1 , M = fji et de N=y, M = a -1- 1 . 



Supposons que la fonction tp se rapporte à M = // séries 

 de variables et à N=v + 1 formes linéaires, comprenartl 

 la forme a^. Nous écrirons : 



a,, est ainsi le terme principal de 9 par rapport au groupe G 

 des coefficients a^ , «2» ••• «»• 



D'après ce qui précède (§ 4), Sq est un semi-covariant 

 analogue à 9, pour lequel on a M = p, N=v; la fonc- 

 tion So a pour les indices r et s [5 ^ r) les poids p^ — 1 

 et p,. 



Dans notre supposition, le théorème énoncé ci-dessus 

 est applicable au semi-covariant Sq; par suite, So s'exprime 

 comme somme de produits de formes linéaires et de déter- 

 minants à, d'; en particulier, chacun des produits contient 

 comme facteurs p,_, — p, -h- i déterminants ^),_,,C; (si 

 l'on supposer >1.) Le nombre p,_, —p^-h\ est au moins 

 égal à l'unité, puisque l'on a /),_, — Pr^ (§ 5). On peut 



