( 264 ) 



En continuant de la même manière, on trouvera 

 9 — 0-, — <7,_, 0-1=0. 



D'après les considérations précédentes , chacun des 

 semi-covariants o- est une somme de produits de formes 

 linéaires et de déterminants ô, d' ; les facteurs (î,, <5- sont 

 en nombre p, — p.^., (o < / < «) ; le semi-covariant 9 jouit 

 de la même propriété. Par suite, le théorème général que 

 nous avons énoncé ci-dessus se trouve vérifié pour M = p, 

 N = v-f-'l, quand on le suppose exact dans le cas de 

 M = f^., N = V ; on peut aussi le vérifier pour M = f^ -f- i , 

 N = v, en suivant une méthode toute semblable à celle que 

 nous avons employée : il faut alors considérer, au lieu de 

 l'équation (5), le développement du semi-covariant 9, sui- 

 vant les variables [x] d'une même série. 



D'après les résultats que nous venons d'indiquer, le 

 théorème général énoncé ci-dessus se trouve complètement 

 établi. Il en résulte que tout semi-covariant de première 

 espèce est représenté symboliquement par une somme de 

 produits de formes linéaires et de déterminants tels que 



x\„ x\„_i ...xl,+i 



a;2„ x%,_i . . . a;2,_i_j 



xn — i„ xn — î„_, . . . xn — li^^i 



En particulier, on retrouve, pour les semi-invariants de 

 première espèce, l'expression symbolique que nous avons 

 obtenue antérieurement (*). Comme nous l'avons vu (§ 3), 

 un covariant est un semi-covariant de même poids pour 



(*) Sur la généralisalioti des semi -invariants (loc. cit.). 



