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les indices i, 2, ... n : par conséquent, on déduit de notre 

 théorème cette proposition bien connue : « tout covariant 

 est représenté symboliquement par une somme de pro- 

 duits dont les facteurs sont : des formes linéaires, des cova- 

 riants identiques et des déterminants d'ordre n, tels que 



7 Procédés permettant d'obtenir des fonctions semi- 

 invariantes. Désignons par (m^, nu,...'ni^, (wj, m'^,...m'r-)... 

 des séries de fonctions entières et homogènes des variables 

 (x), (I) et des coefficients de formes algébriques. Soient 

 (M), (M')... les transformées des quantités (m), (m')... cor- 

 respondant à la transformation linéaire 



Xi = a„X,- -+- a,i+,X,^, -f- • • • -t- a^„X„ , i = \, "2, ..,n. (S) 



Nous admettrons que les fonctions M^, M2, ... M^ s'ex- 

 priment linéairement au moyen des quantités m^, nu, ...m,. 

 et que les fonctions {M') ... jouissent de la même propriété 

 par rapport aux quantités (m'),... 



Soil ^ [m, ni',...), une fonction semi-invariante de pre- 

 mière espèce, exprimée en fonction entière des quantités 

 [m], (m'), ... . S'il existe entre les quantités {m), [rn') ... des 

 relations d'ordre p, nous supposerons que 4/ est d'ordre 

 inférieur à p, par rapport à (m), [m').... 



D'après l'équation (1), nous avons 



^ (M, M' . . .) = «f/a^;^ . . . «P-j .i (/«, m' ...) 



et, dans les conditions actuelles, on peut vérifier cette 

 équation en faisant seulement usage des relations qui 

 existent entre les fonctions (M) et (m), (M') et [tn')... Par 

 suite, on aura 



MQ, Q' •••)-= «^4i ••. «L" HV' 7' •• K 

 5""^ série, tome XIX. 18 



