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En chaque point M (a:, y), les quantités X, Y prennent 

 des valeurs déterminées, que nous regarderons comme des 

 coordonnées de M; les courbes <p et ^, c'est-à-dire les 

 courbes qui ont pour équations <p(x, y) = 0, <p (x, y) = 0, 

 remplacent maintenant les axes coordonnés Oac, Oy. 



Nous considérerons d'abord le cas où la fonction X se 

 réduit à x. Soit 



/"(x, y) == a m -+- a m _ t y h- ... -+- o t/ m = . . (7) 



l'équation d'une courbe donnée f. On obtiendra son équa- 

 tion en coordonnées x, Y, en éliminant y entre l'équation 

 (7) et l'équation 



K + b n ^y + ... -t-6 .v" = .... (8) 



dans laquelle b' n représente b n — Y; soit F(x y Y) = le 

 résultant. 



Nous écartons les hypothèses qui demandent un examen 

 particulier. Ainsi, nous supposerons que les coefficienls 

 a et b ne sont pas nuls, de manière que les courbes /"et 9 

 rencontrent l'axe OY respectivement en m et n points à 

 dislance finie; nous supposerons aussi que ces courbes se 

 coupent en mn points à distance finie. 



Avec ces restrictions, F (ar, Y) est de degré m en Y et de 

 degré mn en x, et les coefficients de x mn et de Y m ne dépen- 

 dent que de ceux des polynômes ^(x, y), <pj(x, y), formés, 

 le premier par les termes de degré m de f (x, y), et le second 

 par les termes de degré n de <p(x, y). 



D'abord, le résultant des polynômes (7) et (8) est de la 



