( 65 ) 



forme 



nyR(y,).R(y,)...R(y m ), 



R {y) désignant le polynôme (8), el y u t/ 2 •••, t/ m étant les 

 racines de l'équation (7) résolue par rapport à y; on voit 

 qu'il contient le terme aôb'r ou aiï(b„— Y) m et d'autres 

 termes de degré inférieur à m par rapport à Y. 



Ensuite, dans l'expression du résultant en fonction des 

 coefficients a oy a iy a 2 ... « m , b , b x ... b'„, tous les termes ont 

 le même poids mn; si l'on remplace chacun de ces coef- 

 ficients par sa valeur en fonction de x, chaque terme 

 sera un polynôme de degré mn, dans lequel le coefficient 

 de x mn ne dépendra que des coefficients de /, (x, y) et de 



?i 0> y). 



D'ailleurs, le coefficient de x mn dans F(x, Y) ne peut 

 être nul, puisque les courbes f et cp se coupent en mn 

 points à distance finie (*). 



6. — Soient A el B les coefficients de x mH et de Y m dans 

 F (x, Y). 



L'équation F (x, o) = a pour racines les valeurs 

 x 1 , x 2 , ..., x mn de x, qui correspondent aux points d'inter- 



(*) Si l'on suppose tous les coefficients des équations (7) et (8) 

 nuls, à l'exception de ceux des polynômes f x (x, y) et cp x (x, y), le 

 résultant se réduit à celui de /", {x, y), cp t (x, y), ou au produit de 

 a;" 1 " par le résultant de f t [1, -), cp, N, -j. Ce dernier résultant est 

 donc le coefficient de x mn dans F (x. Y). Il ne peut être nul que si 

 lesdeux équations/^ [ 1, - j = 0, cp, M, |j =0, résolues par rapport 

 à — ont une racine commune, c'est-à-dire si les courbes f et cp ont 

 une direction asymptotique commune. 



