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La formule (XI) est due à Liouville (Journal de Liouville, 

 1841, p. 345). M. Demoulin (Bulletins de l'Académie royale 

 de Belgique, 1892, pp. 528-548) en a déduit la formule (X) 

 et beaucoup d'autres relations analogues. 



Nos démonstrations diffèrent de celles de ces géomètres. 



12. — La formule 



x t . Xj ... x m „ = k . Y t . Yj ... Y m 



subsiste encore si l'on remplace la courbe 9 par toute autre 

 courbe ayant pour équation 9 (x, y) -+- h = 0, dans 

 laquelle h est une constante (flg. 2). Différentions-la, en 

 supposant h infiniment petit; nous aurons 



\ doCr _ V rfY< 



JL r I j 



ou en observant que dY, = A, 



2i dx,. ^ i 



El nous avons vu (§ 7) que 



Y < = 6 .B 1 A i .B 2 A,.B 3 /\,...B n A i . . . . (19) 



Soient (x r , y r ) les coordonnées du point C r , et désignons 

 par y r> ,, y r2 , ..., y r> „_, les points où la courbe 9 rencontre 

 une parallèle à l'axe A, menée par le point C r ; cette 

 parallèle rencontre la courbe représentée par l'équation 

 9 (x, y) -+- h = en des points y' r< t , /, *, ..., /r,„, parmi 

 lesquels nous supposerons y' r ,„ infiniment voisin du 

 point C r . 



Nous aurons 



f (x r , y r ) -+- h = b . r'r, iC r . y', t C r ... r' r , n C r , 



