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 si élégantes de M. Maurice Lévy. Les résultats principaux 

 sont brièvement exposés, ainsi que les applications de 

 l'équation très simple par laquelle M. Maurice Lévy a 

 caractérisé les systèmes orthogonaux. En même temps, 

 l'auteur rappelle les rapprochements que l'on peut établir 

 avec la méthode de M. Darboux. A la page 17 du 

 manuscrit, on trouve signalée une objection à la démon- 

 stration géométrique de ce beau théorème que « dans une 

 famille orthogonale, la ligne des ombilics est trajectoire 

 des surfaces ». L'objection est relative à la considération 

 des lignes de courbure aux ombilics ; en réalité, elle n'a 

 pas de portée sur la validité du théorème qui a été établi 

 analytiquement. 



La troisième partie du manuscrit est celle qui est le 

 plus développée; elle comprend l'étude complète du 

 système d'équations aux dérivées partielles de Lamé et 

 les conséquences qui en ont été déduites, notamment par 

 MM. Darboux, Combescure et Ribaucour. 



Conduit par son sujet, l'auteur fait connaître d'intéres- 

 santes considérations sur les solutions \](h, h if h 2 ) des 

 trois équations qui peuvent être représentées par : 



, <Fu du du 



dp, dpj dp, dpj 



i^j; i,j = 0,1,2. 



Par une propriété analogue à celle de l'équation d'Euler 

 et de Poisson, U(w, n, p), où m, n, p sont des nombres 

 entiers positifs, se déduit de la fonction simple U(l, 1, 1,), 

 au moyen de différentiations; de même, U( — m, — n, — p) 

 se déduit de U( — 1 , — 1 , — 1 ,) par des quadratures. L'au- 

 teur détermine directementl'expression de U( — 1, — 1, — 1); 



