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le résultat est assez compliqué; mais le manque de symé- 

 trie est dû à un lapsus calami dans la transcription des 

 dernières formules. 



Le système de trois familles de sphères respectivement 

 tangentes aux plans coordonnés et les systèmes dérivés 

 par la méthode de MM. Darboux et Combescure, sont tels 

 que les cosinus direclifs des trois normales forment un 

 déterminant symétrique. L'auteur démontre que les sys- 

 tèmes orthogonaux dont il s'agit sont les seuls qui jouis- 

 sent de cette propriété. M. Lucien Lévy a déjà donné le 

 même théorème dans une note publiée aux Comptes rendus 

 d'octobre 1893 (c'est-à-dire après la date d'ouverture du 

 concours). L'auteur du mémoire ne fait pas mention de 

 celte note; au contraire, il s'attribue la découverte du 

 résultat (préface , p. 2). Il convient d'ajouter que le 

 manuscrit contient le développement de l'analyse assez 

 concise de M. Lévy. 



La théorie des systèmes cycliques de Ribaucour est 

 exposée au chapitre IV. En particulier, on trouve rappelé 

 l'élégant théorème de M. Darboux qui permet de construire 

 'es systèmes cycliques au moyen des intersections d'un 

 cône isotrope avec les plans tangents d'une surface. L'au- 

 teur fait ensuite connaître une généralisation très impor- 

 tante, relative aux systèmes de lignes planes trajectoires 

 d'une famille de surfaces orthogonales; le résultat est 

 inédit en partie et est attribué à M. Darboux. A mon avis, 

 la seconde partie de la démonstration donnée dans le 

 mémoire actuel, laisse à désirer au point de vue de la 

 clarté. 



Le chapitre V se rapporte à la recherche des systèmes 

 orthogonaux à trajectoires sphériques. La théorie des 

 surfaces à lignes de courbure sphériques est d'abord 



