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Dans les numéros suivants, M. Beaupain s'appuie sur 

 les propriétés de la série hypergéomélrique pour établir 

 de nombreuses formules relatives aux eulériennes. Nous 

 n'avons pu vérifier toutes ces formules, dont on peut aug- 

 menter indéfiniment le nombre, depuis que Gauss a donné 

 l'expression de gamma en produit infini et fait connaître 

 les relations qui existent entre celte fonction et la série 

 hypergéométrique. Mais nous avons soumis à une vérifica- 

 cation directe la dernière formule de M. Beaupain, parce 

 que nous la trouvons l'une des plus intéressantes et que 

 M. Catalan semble la croire incompatible avec un des 

 résultats trouvés par lui. En réalité, les deux formules 

 peuvent se déduire l'une de l'autre. 



M. Beaupain a trouvé 



2^=lim ^ !- L_. . (1) 



On en tire, pour a = — [3, la formule de M. Catalan : 



. ,. B(2n -+- S -4- 1, n -t- 1) 



2^ = lim^ ^ '-■ ... (2) 



«=xB(2n+ 1, w H- p-t- 1) ^ ^ 



La formule (2j peut s'écrire successivement 



^, ,. r(2n-t-(3-4-l)r(»-+-l) 

 2'" = liin 



»=oor(2«-i-l)r(n-H|3-t-l) 



_ (2w+p)('2n-f-j3-1).. (n-t-p-i-l)r(H-t-|3-i-l)r(n-t-l) 

 "=« 2/i(2n— J)...(/n-1)r(M-t-1)r(w-4-p + l) 



«=» \ 2«/ \ 2/i-l/ \ n-^\l 

 Si l'on pose 



\ « -t- 1/ \ « -+- 2/ \ 



