184 MEMOIRES 



DEVELOPPEMENT 



D UN POLYNOME ALGEBRIQUE, PAR UNE METHODE 

 INDEPENDANTE DU BINOME DE NEWTON: 



Par M. E. BRASSINNE, 



I'rol'csseur a I'Ecole d'artillcrie de Toulouse. 



1" Dans le calcul differentiel, aprcs les regies les plus 

 simples de la difterenliation, on elablit d'une maniere gene- 

 rale le developpement de Taylor. Dans I'algebre elemenlaire, 

 on pent, apres les qualre operations elementaires, former le 

 developpement d'un polynome algebrique/(x) dans leqiiel 

 on change x en x \-h. Pour cet effet, nous demontrerons 

 deux lemmes preliminaires. 



Lemme I*^"" : Pour sommer la suite : 

 (1) /= i,2.3.../:'-l-2.3 p-l-i-f- +«. n-\-\...n-\-p—\. 



formee de produits de/? facteurs successifs, tel que le dernier 



facleur surpasse dans chaque produit le premier facteur de 



p — I , // sujfit (le considerer le dernier produit de la suite, 



de multiplier ce produit par son dernier facteur augmente 



d'une unite, et de diviser le resultat par autant d' unites 



qu'il Y a de facteurs dans le nouveau produit. Ainsi la 



- [n)(n-\-\)...{n-\-p — \).(n-\-p) 

 somme ]—■ — ^ '■ — ^ — -^ — — -^• 



Pour demonlrer ce lemme , je multiplie les deux membres 

 <le la relation par p-f-i", nous trouverons : 



