DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 185 



(2) f.p-hi =I.2.3.jW.p-(-l-|---- + "-« — 1---"+/' — '-/'-l-l- 



Or eii ajoulant les deux premiers terines du second inenil)re 

 de ceite derniere. apres avoir isole i .9..3 — f>(/>+i) on trouve 

 pourresultat 2.3. \...p.(p+ i)(p-\-2), ajoiUanl cette somme 

 avec le ternie suivant et isolant 2.3. j. ..(/>+ 0(P+ ^) ^" 

 trouve pour sonnne 3.-|.5...(7^-|- i){p-\-^)(.P \-'^)- Suppo- 

 sons qu'en poussant ainsi I'addition jusqu'au /i— i™"" terme, 

 on trouve pour somme : {Ti — i)(ii)...(ri-{-p — 2){n-\-p — i), 

 en reunissant ce resultat au 71""'^ terme el isolant 

 ,i(^7/_j_i)...(//-|-yj — 2)(^/;-|-^ — i), on trouvera pour somme 

 nln-[-i){?i-\-2)...(n-\-p — i)(n-\-p) et par suite, d'apres 

 la relation (2) j3^ »("+0(»4-^)-.-(>^+,- ■ )(n4-P) ^ Ce 



qu'il fallait demontrer. 



Lemme II : Ecrivons les suites : 



«, I, ', 1 . I 



1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 



(5) 1 , 3, 6, 10, i5, 21 , 28, 36 



1,4, 10, 20, 35, 56, 84, 120 



Les termes successifs d'une suite quelconque, se for- 

 ment , par I'addition de un , deux , trois,... termes de la ligne 

 superieure. On voit que la somme d'une suite devient terme 

 general de la suite qui succede. Ainsi la somme des ni 

 termes de la premiero suite est m, les termes de la seconde 

 suite sont les diverses valeurs de ni, mais d'apres le lemme 



l*"" la somme de in termes de cette suite sera — ^ — ■ — '-. La 



troisieme suite , qui presente les diverses valeurs de cette 

 somme pour wr= i , m=2,... pourra s'ecrire ainsi : 



m.{m+i){m-j~i) 



1.2.3 



-^('l.2+2.3 + 3.4 + ... + ^/< /«+!)) 



