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MEMOIRE 



SUR LA DISCUSSION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. 

 Par M. E. BRASS1NNE. 



INTRODUCTION. 



1.° La plupart des questions de dynamique ou de 

 physique generale dependent de Integration d'equations 

 differentielles a coefficients variables. Lorsque les metho- 

 des analytiques sont insnffisantes pour les integrer, il est 

 possible, dans certains cas , de discuter la marcha de la 

 fonction qu'elles renferment implicitement, et d'arriver a 

 la connaissance de ses principales proprietes. On peut a ce 

 sujet consulter deux importants memoires de M. Sturm, 

 inseres dans le journal des Mathematiques, tome i. er , pa- 

 ges 1 06 et 373 , ainsi que le beau memoire de M. Liouville, 

 insere dans le tome 3. e du meme journal, page 56 1. Je 

 me propose, dans cette introduction , d'indiquer un mode 

 de transformation tres-simple, diilerent des procedes em- 

 ployes par ces savants geometres, et qui facilite la discus- 

 sion d'un grand nombre d'equations lineaires ou non 

 lineaires. 



2.° Lemme preliminaire. Considerons l'integrale 



F (x). <p(x). dx, prise depuisune limitefixe X jusqu'a 

 une limite variable x> on pourra concevoir cette integrate 



