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5.° Ces principes etablis, nous pou irons aisement dis- 

 cuter l'equation dirlerentielle -— -j- F (x). y = o (i) entre 



deux liniites x , X de la variable. On sait d'ailleurs que 

 toute equation lineaire du second ordre, privee d'un terme 

 fonction de la seule variable independante, peut se rame- 

 ner t res-si mplement a la forme (i). Supposons que depuis 

 x a jusqu'a X, F (x) reste toujours positive, et qu'eile 

 ait dans cet intervalle pour liniites superieures et infe- 

 rieures A et a de telle sorte que, entre ces liniites, on ait 

 A > F(.r) > a. Supposons que pour xz=zx la fonction y 

 et sa derivee par rapport a x , aient des valeurs donnees, 

 positives , et adinettons de plus que les derivees des ordres 

 super ieurs fournies par l'equation (i), ne deviennent pas 

 infinies pour des valeurs de x comprises entre x et X. 

 La fonction y qui pourrait etre exprimee en serie par le 

 theoreme de Taylor , restera finie elle-meme. Cela pose , 

 multiplions l'equation (i) par 2clyet integrons : on trou- 



Veia : !t^+/ F ^- 2 r d I = ° ou ^+fF(x)dy>=o. 

 puisque nous supposons F(x) constamment positive entre 

 x et X , les elements de l'integrale seront positifs ou nega- 

 tifs, suivant que y sera croissante ou decroissante. Nous 

 supposerons que l'equation precedente prenne la forme 



7lx^ T '^J J J' = ' oubien ^ + Tr G r ) f—° ( 2 )5 mais 

 le premier membre de cette derniere se decompose en deux 



facteursg+y-Ty'^) .y et g- y^7 y/^-J. 



Chaque facteur egale a zero fournit une integrate qui 

 satisfait a l'equation (2) , et la somme de ces integrates 

 donne l'integrale generate qu'on peut mettre sous la 



forme /=C.sin ( / i It: 'x) dx-\- C j . (3). Nous savons 



