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double courbure, ct placons-y l'origine des coordonnees 

 en prenant pour axe des x la tangente en ce point, pour 

 axe des y la direction du rayon du cercle osculateur, et 

 pour axe des z la perpendiculaire au plan osculateur. 

 Soient jv- — <p(,x) , z=zty(x) les equations de la courbe; 

 nous supposerons que l'on prenncr pour variable indepen- 

 dante, ce qui donnera (tx=.o. La tangente au point 



a pour equations r' =-j—x' , jz' == -7— ac' , et comme elle 

 r l J dx dx 



sert d'axe des x, on aura en ce point dy=zo, dzz=.o. 



En outre le plan osculateur au point a pour equation 



X x' -{- Yj' -j-Z z' =o , les coefficients ayant ici pour va- 



leurs X==o,Y= — dx d* z , Z=zd X d*f , et puisque ce 



plan sert de plan des x,j\ on aura visiblement d*z = o. 



II suit de la que Ton a au point , ds=zdx, d*s=o , et 



si l'on diflerencie les expressions generales de X, Y , Z , 



on trouvera que l'on a en ce merae point, ^X = o, 



dY = -dxd'z, dZ = dx d 3 f. 



Cela pose, soient a, (3, y les coordonnees du centre 



du cercle osculateur au point 0, on trouvera que leurs 



expressions generales donnent, en vertu des valeurs pre- 



cedentes, 



dx" 



dx" 



de sorte que le rayon du cercle osculateur est p=-^-. 



Soient en second lieu x' ,j' , z' les coordonnees du point 

 d'intersection de trois plans normaux consecutifs, point 

 queMongeappelle centre de courbure spheriqueparce qu'il 

 est le centre d'une sphere qui passerait par quatre points 

 consecutifs de la courbe. On trouvera que leurs valeurs 

 relatives au point sont 



V-n r'-— z'— dx3d ' J 

 X —°'J—d*y ,> — d'fd**' 



AppelonsH la distance du centre de courbure spherique 



