DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 5 



raais qu'il I'avail devcloppec el appliquee avec aulunl de sagacile 

 que de profondeur a des questions geometriques , donl ia diffi- 

 culte etoiinait scs conlemporains ; el on ne peut pas sempecher 

 d'admeltreque sesdecouvertes, connues de tons lessavanls deson 

 siecle, el disciUees par Dt^scartes , n'aient scrvi de point de 

 depart aux rccherches de Leibnitz et des Bornouilli, auxqucis 

 il a souvent sufti de traduire, dans I'algorilhme dilTerentiel , des 

 questions complelement rcsolues depuis iongtemps. Si on exa- 

 mine , en etFet , avec attention le Memoire sur les quadratures , 

 on voit que le premier problome que Fermat resout, pour 

 carrer les hyperboles et les paraboles de tous les degres,renferme 

 une nielhode complete pour I'integration des monomes a expo- 

 sanls enliers, fractionnaires, positifs ou negatifs. Le precede 

 quil emploie dans deux cas parliculiers, s'applicjue, corame il 

 le reraarque , a des exposanls quelconques. 



Dans le second de ces exemples, il determine la quadrature 

 d'un segment d'unc parabole, definie par cette propriete , que 

 son ordonnee soit en rapport constant avec la racinecubique du 

 carre de rabcissc. La consideration d'une progression geom^lri- 

 que, dont les terraes croissant d'une maniere insensible^ peu- 

 vcntetre identifies, au second ordre pres, a ceux d'une progression 

 arithmetique , lui donne un moyen aussi elegant que subtil pour 

 surmonter la difficulty qui provient de la racine ou de I'exposant 

 fractionnaire. Apres ce premier pas important dans la theorie 

 de I'integration, Fermat, par des transformations ingenieuses 

 des courbes qu'il veut carrer, integre par le moven des arcs 

 de cercle une fraction ralionnelle qui a pour denoininateur 

 un binorae du second degre ; il ramene aussi a la quadrature 

 du cercle les racines carrees des fonctions enlieres du second 

 degre, lorsque ces racines sonl multipliees par des fonctions 

 rationnelles de la variably; et pour la solution de cette question 

 difficile, ilinvente la niethode aujourdhui en usage, et connue 

 sous le nom d'integration par parties. Nous indiquons a peine les 

 points principaux dcideux trailes aussi concis que substantiels 

 qui decident, dune maniere irrefragable, la question long- 

 temps conlrovcrscc , de I'invention de I'analvsc infinitcsiraalc. 



