i Jf. MEMOIRES 



premier membrc Ic carre (\e x'-b\ I'egallle prccedenle 

 deviemlra : x'^-2b'x'-\-b'^=d^-m^x— ^b' x'-\-bK Si 

 nous ('galons chaqiic meinl)re a /*'/% les racines seront 

 tlonnees par rinlcrsection dc deux paraboles el d'uii cercle. 



Eiifui, la memequeslion esttrailee plus gcneralement dans 

 les Opera varia , dans une Dissertalion qui a pour litre : 

 Solution lies Probleines geoinetriques au niojxn des 

 courbes les plus simples , et conveuant specialement a 

 cliaque genre de problemes. 



Nous donncrons un exlrait de la partie essenlielle de cette 

 Dissertation. 



Supposons que, entre deux grandeurs « el Z?, on veut 

 inserer i -?. nioyennes gcometriques ; de sorte que ces 

 moyennes etant ivpresentees par j: , x\ x" ... on aura la 

 progression a:x:x':x" :... : b; ou en appelant k la raison 

 inconnue de la progression, a : ak : ak" : ... : « A" : b, 

 d'oii il resulte que b = ak'^-, niais puisque la premiere 

 moyenne est representee par x, on a x = ak, d'ou x^^=a^\b. 

 II s'agit de construire la racine reelle de cette derniere , ce 

 qu'on fera en egalant cliaque membre de I'equation a X^^.b; 

 on aura done les relations x'^=x\y'>.b et y'^.x'' = a'\ 

 La premiere se reduit a x'=j''.b du cinquieme degre , et 

 a la seconde a/x'^^^ , qui est une byperbole du Iroisieme 



degre. 



Fermal generalise , en terminant , la construction des 

 moyennes gcometriques. II prend la suite des nombres pre- 

 miers 3, 5, 17, 257, 65537 -, cbacun de ces nombres 



est le carre du precedent diminuc d'une unite , ce carre 

 etant augmente de 1 : ainsi -257 =(17— i)'+ i. Fermat 

 pensait qu'une suite indefinie de nombres ainsi formes , ne 

 renfermerait que des nombres premiers ; il est vrai que dans 

 une lettre a Frenicle , il avoue qu'il n'a pas pu prouver la 

 verite de cette proposition qui, d'apres la remarque d'Euler, 

 n'est pas exacte. 



