DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 21 



II faut exprimer NG et BP, en functions des abcisses; ce 

 qui est aise en menant par le point c ^ck' z=b parallele a N I 

 et Ld parallele a lo. On a NC = Nr/4-Jc=HA:'+LH ; 

 mais cl{=:b — x\ par suite Hk' =z\/2bx — x% et par la 

 coniparaison des Ir :u gles LHI , HcA' , on trouve 



n:=a ; par suite 



b — X 



TVT n I — ; Z {b — x-\-a) , 



iNL. = V2t^Jc — x^- — i , enanafeant X en X — e, on 



b—x ' ^ ' 



aura la valeur de B P , et la derniere proportion donnera 

 la valeur de s en fonction de I'abcisse du point N. 



(F/g. 7.) Cjclo'ide. 5° Le procede que Fermat emploie 

 pour eviter la difficulte provenant de I'equation transcen- 

 dante de la cycloide est tres-elegant et susceptible de nom- 

 breuses applications. 



c est le sommet d'une demi-cycloide , c/ son axe vertical 

 diametre du cercle generateur cmf\ en un point r on veut 

 mener la tangente a la cycloide et trouver la valeur de la 

 sous-tangente db-=s, prenant un point voisin ?i , et 

 designant dg par e , on aura , comme dans tons les proble- 

 mes precedents, rd: ng:: s : s — e; mais par suite de la 

 generation de la cycloide, ^/"vaut une demi-circonference ; 

 et en faisant passer le cercle generateur par le point r, il est 

 aise de voir que rd:=zcom-\-ind. Par la meme raison , 

 ng-=.co-\-ogz^cni— ino-\-og. Menons la tangente au cer- 

 cle au point /??, et reraarquons que la quantite dg=ze , pent 

 etre assez petite pourque mu, partie de la tangente, se confonde 

 avec Tare nio^ et vg avec og; nous pouvons done admettre 

 que 7ig=:coni — nn>-{-gv. La proportion fondamentale 

 deviendra done '.corn -\-nid : com — in v-\-gv. : s : s — e. 

 Calculous inv etgi^ au moyen des triangles nida, vga, 

 nous aurons gv : md :: da — e: da\ niv : ma :: e : da. 

 Prenant dans ces deux dernieres les valeurs degi^, /wi', et 

 les substiluant dans la proportion precedente, elle deviendra : 



