DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 23 



Application ile la mctliode des mujcimis a la iletermination du 

 centre de gravilc du paraboloide dc revolution. 



Bien que lo proccde de Fermat soil indirect , el qu'il 

 siipi)Ose un lemrae d'Archiniode , il nous parait assez inge- 

 nieux pour mcriter rallention des geometres. 



{Fig. 10.) Le paraboloide est engendre par la revolu- 

 tion du segment parabolique CAV autour de I'axe A I ; soit 

 o son centre de gravite inconnu, faisons une section parallele 

 a GV par la droiteBR, le segment BAR engendrera un 

 paraboloide dont le centre de gravite sera E. Designons par 

 e la distance IN; celapose, en appelant x I'abcisse Ao du 

 centre de gravite et b la longueur AI, on aura , d'apres un 

 lemme d'Arcliimede , Ao:AE::AI:AN, c'est-a-dire que 

 les abcisses des centres de gravite sont entre elles comme les 

 longueurs des segments paraboliques. Cette proportion pent 

 s'ecrire ainsi x -.XE -.-.b : b — e, qui donnera x : o fi : : Z? : e ; 



d'ou oE = -^ ; mais les volumes des paraboloides GAY, 



BAR sont dans le rapport de A P : AN' ou de b" : (6 — e)^; 

 par suite vol.BAR : vol.(GAV-B AR) :: :^-e)^ sZ^e — e- 

 mais E etant le centre de gravite du volume B AR et in celui 

 du segment engendre par GB RV, on pcut trouver le point o, 

 c'est-a-dire le centre de gravite du volume GAY en compo- 

 sant deux forces paralleles appliquees en m et en E dans le 

 rapport dc abe—e" a {b — e'f. Ainsi done on aura : 



T-i /7 V, 7 , ij > V.olb — e~/ 



m o : ho : : ( b — e.- : 2be — e ; d ou mo =: — r ; niais 



1-. e.Xj e x(b — eY ., , 



bjOz=-T-, done mo:=^—Y- ; — ■; mais Voz=zb — x , et 



b ■ib^e — b e^ 



si on fait e aussi petit qu'on voudra , I o deviendra egal a 

 mo: on aura done a la limite b — x-=^—, p-, faisant 



■2b^ — be 



disparaitre le denominateur et supposant e infiniment petit , 



