DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 25 



en progression arilhraetique au second ordre pres, il est 

 clair que le troisieme lerme a (i-j-a)^ vaudra, au second 

 ordre pres, le premier a plus la double difference a a; pour- 

 suivanl le calcul , on verra que les differences successives 

 sont toutes egales au second ordre pres, et que le terme 

 a (i-j-a)"' vaudra au second ordre pres le premier terme a 

 plus m fois la difference a a. 



( FiQ. 1 1 .) 2° Ces lemmes poses , considerons I'hyper- 

 bole du troisieme degre : 'y=.—^ rapportee a ses asympto- 

 tes , et prenons une suite infinie d'abcisses et d'ordonnees 

 kp' — x' , p' ni' =y' , Xp"= x' ( I +a) = x", p"m"z=if, 



kp"' z=x' {\-\-aLy = x"' , p"'m"'' =f" Nous voulons 



trouver I'expression de I'aire qui, a partir de p' in' , est com- 

 prise entre la courbe et I'axe des x prolonges a I'infini. II 

 est aise de voir que les aires /'(x" — x'), y" {x'" — x"), 



j"*(xr' ~x"' ) des rectangles m' p" , ni" p'" , m'" p"" 



sont en progression geometrique decroissante , et que a 

 etant aussi petit que possible , ces rectangles convergent 

 en somme vers I'aire cherchee. Or, le premier rectangle 



y (x" — x')-=z —q{cfL x' ) = — - , le second rectangle 



yii ^^111 _ j^."^-. ^ comme on le trouve en remplacant 



j'et y" par leurs valeurs donnees par I'equation de I'hvper- 

 bole. Or, d'apres le premier lemme, la difference des deux 

 premiers rectangles (qui sont les deux premiers termes de 



la progression decroissante), savoir : , — est au second 

 terme -7- — ■. — • comme le premier rectanele — 7- est a la 



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somme s de tons les rectangles, moins le premier — r- 



Uu, en reduisant, a : i : : — — : s ;- , neelicreant les m- 



fmiment petits du second ordre : ^ = — . 



