26 MEMOIRES 



(F/g. l^.) 5° Considerons la parabolc du troislenie de- 

 ^ve j^=ztn.x\ On veut Irouver Taire A///«'d'mi seg- 

 ment de celte combe; considerons nne snite d'abcisses et 

 d'ordonnees decroissantos convergeant vers zero , savoir 

 Xp' = x' , />' in' —f , kp" — x"=.x' ( I - a) , ;/'/«"= j\ 



A/;'" = Jc'" = Jc'(i— a/, p"' i)i!"—f" il est aise de 



voir que les rectangles siiccessifs m' p'\ m"p"' , etc 



sent en progression geometrique decroissante. Or, le premier 



ni' p'\ ou j' (x' — x") z=: m~x' ^ a x' = a ni \x' % le second 



rectangle in"p"' ou y"{x"—x"')=in'x' "= ( i - a)'^(i- a) a. x'. 

 En appliquant le premier lemme et comparant la diflerence 

 des rectangles au second rectangle , et designanl la somme 

 des rectangles a I'infmi par 5, on aura : 



I — ( I — a)~ : (i— a) ' :: a.in'x' ' : s — a..m^ x' \ Or , si 

 nous posons la progression geometrique decroissante 



I : (i-p) : (i- (i)^ : (i- P)' : (i- ^)' : (i- ^)\ on prouve- 

 rait par le second lemme, que (i — (i)^r:: i— 5 [3; mais nous 



pouvons supposer que (i — a)^=:(i— P), ou (i— a)=:(i— p)\ 

 en negligeant les quantites du second ordre en p , on aura : 

 a = 3 p ou [3=-^; donc(i— P7=:(t — a)^— i — ^a; par 

 suite la proportion precedente deviendra : 

 -a.:\ — J- a.:: a. 111^ x' ' : s — a/n^ x' ^ , d'oii, en negligeant 



') -L — 

 les termesdu second ordre, s=:-^in " x' " . Les exemples que 



nous avons rapporles paraissent suffisants a Fermat pour 

 qu'on puisse par induction generaliser les regies des quadra- 

 tures des byperboles ou paraboles de tons les degres , regies 

 qui renferment les principes de I'integration des monomes a 

 exposants enliers ou fractionnaires positifs ou negatifs. 



L'illustre geometre considere ensuite des equations a 

 plusieurs termes , tellcs que aj' =i x^ -\- b x" ; il remar- 

 que que si on pose ay'^iaU' , on Aurn a" u :=z x^ -\- b x% 



