DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 27 



et II est evident que la courbe donl I'ordonnee serait t- , au- 

 rait line aire qui serait la somme de deux aires paraboliques 

 dont Ics equations seraient ir-v'=x^el aU'"=bjc\ Ces 

 aires , prises dans des limitcs convcnables et ajoulees en- 

 semble , donneront ce que Fermat appelle la sorame des j-" 

 qu'on designe acluellement par If'^clx. 



{Fig. 15.) Fermat demontrc cnsuite par des considera- 

 tions gdometriques et analytiques la transformation connue 

 sous le nom d'intcgration par parties. Pour bicn comprcndre 

 le sens de ses procedcs , remarquons d'abord que si une 

 somme n-\-oi-{- a.' -|-a"-|-, etc. , est elevee au carre, et que 

 a, a' , a." soient tres-pclits , de telle sorte qu'on puisse ne- 

 gliger a.% a'% a"% etc... , le carre de celle somme pourra se 

 metlre sous la forme : 



rt^_j_ 2rta-f- 2 (r/-|-a)a'+ 3 (rt-fa+a' ) «" 

 ^_ 2 (rt + a-f a' 4. a") a"' +, etc 



Cela admis, considerons une courbe in m' m" m"' . . M; 

 tragons les abcisses et Ics ordonnoes des points infiniment 

 rapproches m , ni' , ni"...M; les coordonnees du point m 

 seront a , /;, celles de M seront A, B, I'abcisse p' /?*' = a:', 

 p"m"= x" =z x' -I- a , p'" in" ' = x" ' = x' + a + «' , x'^ = JC' 

 _|_a-j-a' 4-a" . a, a', a"... designant les accroissements 

 successifs et infiniment petits sin'\ lm"\ tni'"... de I'ab- 

 cisse x' . Nous voulons presentement calculer la somme 

 du carre de chaque abcisse par la difference des ordonnees 

 correspondantes ; savoir : 

 / m' ' . bp' -\-p"in"^ . p'p"-{-p"' ni"' = . p" p"' +... on ... 



^' ' (^-/ ) + •^"" (/ - r") 4- ^•"' ' if'-f" ) + 



+ A.^ (/'"-" -B); 



mais x"'- = x'" + 2 a x' , x"' ^ = x' = + 2 x' a + 2 x" a' , 

 x'^'=zx' ^ -|- 2 a' a -1- 2 x"a' + 2 x"' a" + . ... par suite la 

 derniere sommalion dcviendra, par la substitution de ces va- 

 leurs, en isolant successivement les facteursx'% 2 ax', 

 aa'x" et faisant les reductions evidentes : 



