28 MEMOIRES 



X"(b-B)-2UX' B - 2 a' a:"B - 2 x"x"' B -I-... 



...-\-1x'f 0L-\-2x"f'x' + 2 X"' f a"+ 



Mais a, a' , a", etanl les accroissements de x' , x'\... d'a- 

 pres les principes des quadratures paraboliques ci-dessus 

 enonces, la soninie — B (2 ax'-}- 2 a' a,"...), dans les limi- 

 tes de la iigure, vaul — B (A'— a.-"); or a' " differe infi- 

 niment peu de a" ; done I'expression precedente deviendra 



a'& — BA'-|-2. / xj'.^x; en designant par /la somme 



des produils des abcisses par les ordonnees, et par dx 

 raccroissemenl de I'abcisse ; ce qui donne le resultal de 

 I'integration par parties , et fait dependre la sommation 



/ x^dj de 2 / x.jdx. 



Si, au lieu de considerer les carres des abcisses multiplies 

 par la difference des ordonnees, on avail considere les cubes 

 de ces abcisses multiplies par les memes differences, c'est- 



a-dire \ x^ dj, une demonstration analogue perniettrait de 

 faire dependre la sommation / x^dy de 3 j x^ydx , et en 

 general / x"'df dcpendrait de m j x"'~y.dx. 



Expliquons , sur deux exemples que choisit Fermat , 

 I'usage qu'il fait de sa transformation ; prenons d'abord 

 I'equation du cercle /' + x'=Z?\ il est clair que la somme 



des/' ou plutot lydx est connue par la quadrature de la 

 parabole; car si on pose/'rr&i^, I'equation precedente de- 

 viendra : h V -\- x" :=.b^ ^ et la sommation des v ou / vdx 

 est I'aire d'une parabole. Supposons qu'il soil question de 

 trouver la sommation desj^ ou f^ dx : celte sommation 

 depend, d'apres ce qui precede, de '5 f'x.dj, posons 

 y^x=b\z^ d'ou x=.—^, I'equation du cerclc devicnt, en 



