30 MEMOIRES 



Format dediiit la ji,eneration de celte courbe dii troisieme 

 degre , d'uiie parabole du second degre. 



(Fig. 14.) Soil Y^zzikx Fequalion de la parabole A/w, 

 prenons, a parlir de I'origine el sur le proloiigement de 

 I'axe des x, Irois dislances A A' , A' A", A" A"' , egales 

 a c, ct elevens aux points A, A' , A" des paralleles a I'axe 

 des J'. Par iin point qiiclconque m de la courbe, menons 

 line parallele mo, telle que in a! : a' a" : : a' a" : a" o , ou 



x-\-c:c::c:a"o:=. — - — , le point o , ainsi determine , 

 ' x-\-c ' 



etant rapporte a deux coordonnees oa":=.z , rt"A"=r/, 

 nous aurons zz=. ; mais par I'equation de la parabole 



ocz=.^ \ done, ;:; =- — 7— r- • Si /x=:c=:/^, on trouve 



identique a 1 equation proposee. 



Par des transformations analogues , Fermat ramene a la 

 quadrature du cercle la determination de I'aire de la courbe 



donnee par I'equation j'' z= — . INous n'insistons pas 



sur le developpement de ce dernier cas, parce que nous en 

 avons dit assez pour faire voir ce que Fermat a invente dans 

 le calcul des sommations ou dans le calcul integral. En 

 faisant usage de la progression geometrique decroissante, 

 il integre les monomcs de la forme x"'dx , lorsque I'expo- 

 sant est fraclionnaire , positif ou negatif ; et , par suite , les 

 fonctions de la forme {a x'^ -\-h x^-\-...)d x. Par une cons- 

 truction qui rcvienl a I'integralion par parties, et en faisant 

 usage de transformations ingenicuses aux equations des 

 courbes, il ramene a la quadrature du cercle Tintegralion 

 des fonctions entieres du second degre , affectees du radical 

 du second degre , lorsque ces fonctions sent mullipliees par 

 des expressions rationnelles. 

 Dans son memoire sur la comparaison des lignes courbes 



