DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 31 



avec les lignes droiles, rilluslre gcoinctre ne donne pas une 

 noiivelle extension a ses melhodes analyliques ; il les appli- 

 que seulement a un exemple reniarqiiable , et il traile une 

 question nouvelle a son epoque : nous nous bornerons a re- 

 produiie la substance de la longue dissertation de Fermat. 



Dissertation yeomelriquc sur la comparaison des conrbes 

 et des iujnes droiles. 



Les geometres n'ont pas encore egale une courbe pu- 

 rement geometrique a une ligne droile ; car ce qui a ete 

 demontre par un geometre anglais (Wren) , ires-subtil; 

 savoir que le premier arc de la cycloide est egal au qua- 

 druple du dianielre de la circonference generatrice, parait, 

 de I'avis des plus savants, ne s'ap[)liquer qua des ques- 

 tions liinilees. lis admettent , en effel , que c'est une loi 

 de la nature qu'on ne puisse trouver une ligne droite 

 egale a une courbe, a moins qu'on n'ait d'abord suppose 

 une autre droite egale en longueur a une autre courbe ; et 

 ils expliquent par ce nioyen la rectification possible de la 

 cycloide , parce qu'on ne pent disconvenir que la longueur 

 de la circonference generatrice ne soit egale a la base du 

 premier arc cycloidal ; mais ce que nous allons expliquer 

 montrera ce qu'il y a de vrai dans ce qu'ils cousiderent 

 comme une loi de la nature , et fera voir le danger qu'il y 

 a de convertir en axiomes generaux des resultats deduits de 

 quelques faits parliculiers. Nous prouverons , brievement , 

 qu'une courbe geometrique, qui ne derive pas d'une autre 

 courbe cgalee a une ligne droite , pent cependant etre rec- 

 liiiee. 



(Fig- 15.) Fermat n'emploie pas, comme Archimede, les 

 pcrimetres des polygenes inscrils et circonscrils a une courbe 

 pour obtenir deux limites de sa longueur. II considere , par 

 exemple, une courbe Xb , concave vers I'axe Ax, et 



