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(lont, par suite , les elemenls font avec cet axe des angles 

 de plus en plus pelils. Gela pose , il prend Irois points con- 

 secutifs m", m, m' sur la courbe , tels que menant les 

 ordonnees, leurs distances p" p,pp' soient egales. Cela 

 pose, il est clair que si on mene la tangente omk au 

 point w, les deux parties o/« , mk de cette tangente 

 qui par Thypothese sont egales, seront telles que om 

 sera moindre que I'arc de la courbe mm", ct que mk 

 sera plus grand que mm' . En elTet, menant deux paralleles 

 mi, m' c a A.r, on \oit que mo est une oblique moindre 

 que la corde qui joindrait les points mm'\ et quVV/or- 

 tiovi wo sera moindre que I'arc mm". On voit aussi que 

 mk >mc-^cm. ; mais cette ligne brisee clant enveloppante 

 de m m' est plus grande que cet arc. 



Si done on veut avoir une limite supcrieure de la courbe 

 S.b, '\\ suflira de prendre des abcisses A/?", A/>, A/ . . . 

 et de mener en chaque point de la courbe correspondant , 

 une tangente prolongee jusqu'a I'ordonnee qui suit , en 

 avan^ant de A vers x. La limite inferieure sera obtenue 

 en menant des tangentes aux memes points , et en les pro- 

 longeant jusqu'aux ordonnees qui precedent , de x vers A ; 

 si les distances Xp", p"p, pp' ... sont egales , on voit 

 tres-bien que les deux sommes de tangentes ne differeront 

 que de I'exces de la premiere tangente au point A de I'un 

 des systemes sur la tangente au point b de I'autre systeme. 

 Or, si les abcisses sont infiniment rapprochees , cette diffe- 

 rence etant nuUe , il resultera que les deux limites se con- 

 fondront : on pent done trouver la longueur de Tare d'une 

 courbe geometrique , en sommant les tangentes successives 

 a la courbe comprise entre les ordonnees. 



Cela etabli , Fermat demontre tres - simplement que la 



parabole dont I'equation est y^=-^{i) est rectifiable. 



