DE l'aCADEMIE DES SCIENCES, 33 



{Fig. 16.) Pour exprinier la longueur de Tare paraboli- 

 qne kb , qui repond a I'equalion precedeute , en fonclion 

 de I'abcisse Ax, nienons en un point quelconque m une 

 tangente sni?i., que nous terminons a I'axe des x et a I'or- 

 donnee cj n aussi rapprochee qu'on voudra de nip. Tragons 

 enfin la ligne /;// parallele a I'axe des x et egale a /»«7, 

 nous pourrons poser les proportions mn : ms •.-.mi : sp\ 

 mais la methode des langentes de Fermat donne pour la 



sous-langente, .?/?=: A-^-' , x etant I'abcisse kp du point m, 



1 6 X* 



par suite in &""■=■ — x'' -\- ,-- Par la substitution de ces va- 



leurs, la proportion preccdenle deviendra 



/ill , .r 4 i» < /3 /it) , j:\ 



m7i:xs/^-{-j-::pg:-x-, dou mn=:[j^y^^-\.~ ) .pg. 



3 /Tb jc 

 Mais si-rW — f-r- etail I'ordonuee d'une parabole dont 



Tequation serait, j'n: • -I--7-7- 1 on voit que la somnie des 



mn , correspondants a des points consecutifs tres-rapproches 



de Tare kb , seraii equivalente a I'aire d'une parabole que 



Fermat a appris a determiner, el qui serait egale a : 



A/ifi , x\ /iH , X k VLi , . . , 



aVY+JTyV^+A^I-i^^'-^''' expression qu on pent cons- 



truire geometriqueraent comme tons les radicaux du second 

 degre , en retablissanl rbomogeneile. On voit done que la 

 rectification de la courbe parabolique depend d'une quadra- 

 ture d'aire qui est aisee. 



Fermat deduit de la parabole qu'il rectifie , une infinite 

 d'autres courbes rectifiables. Si , en effet , Tare A m dont 

 nous avons donne I'expression (2), etait pris pour or- 

 donnee d'une courbe nouvelle qui aurait les memes abcisses 

 que la premiere , courbe qu'on tr acerait en prolongeant une 

 ordonnee telle que pm., jusqu'a ce que sa longueur fut 

 egale a Tare A /n , I'equation de la nouvelle courbe serait 



4' S. —TOME III. 3 



