DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 57 



XXXI. Trouver deux nombres tels , que leur |)ro(luit etaul 

 augmenle ou diminue de leur soniuie , les resultals soient des 

 Carres dans les deux cas. 



XXXII. Trouver deux nombres egaux en somnie a un 

 carre, et tels que leur produit etant augmente ou dimi- 

 nue de leur somme, les resullats soient des carres. 



Solution. Supposons que ion el 2N soient les nombres 

 cherches, nous egalerons leur somnie 12N a i6x% ce qui 

 donneraN=y; avec ces conditions le produit 20 n' des 

 deux nombres etant augmente ou diminue de leur somme 

 i6iN% les resultals 36 n% 4 in" seront toujours des carres. 



XXXIII. XXXIV. Trouver trois nombres tels, que le 

 carre de chacun d'eux etant augmente du nombre suivant , 

 les trois sommes soient des carres. Pour la proposition 

 XXXIV, chaque carre est diminue du nombre suivant. 



Solution XXXIII. Premier nombre n , second 2 n -)- • ' 

 troisieme 4 ^ -|- 3 , avec ces bypolheses le carre du premier 

 nombre n plus 2N-{- i est un carre quel que soil n, le carre 

 de 2 N-{- ' plus 4 N -|-3 est aussi un carre quel que soil n ; il 

 reste a determiners pour que le carre de (4n + 3) angmente 

 de N soit un carre. II suflira d'egaler i6n'-j-^^ ^'-f^^ ^' 



(4n-4)'. 



XXXV , XXXVI. Trouver trois nombres tels , que le 

 carre de cbacun etant augmente <le la somme de trois , les 

 resultals soient des carres. Pour la quesiion XXXVI , le 

 carre de chacun est diminue de la somme de trois. 



Solution XXXV. Soil un nombre k=ab = a' b'=a" b" , 

 il est Clair que (^)' + ^ (-?^')'+'- (~)' +1^ 

 seront des carres. Cela pose, Diopliante considere au 

 lieu de A" un nombre parliculier, 12 par exemple , or: 



