DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 87 



I (- 1 =('in-|- i)' j. Si, coiifoiraenieiil a riiv[»ollii.'se de 



Fennat , le premier nombre donnc est 2n* — 'j^ — i , on cxpiiuiera 

 qu'il est friangulaiie cii laisaul 16 n' — ^•7'* — 7 ^g"' ^ >'" cane a 

 (4n — 3)' par exemple. Le premier nombre etant done Irianj>ulaire , 

 on aura evidemmcnt n^:=(2n" — 7' — 0+7' + (^^ — 2N'-f-i). 

 Cette derniere ilentite icsout ( apres la determination de n ) le pro- 

 blcrae. 



XLV. Trouver trois nombrcs tels , que la difference tin 

 |)!us grand el dii moven , soil dans un rapport donne , a la 

 diflerence du moyen et dii plus pelit. II faut de plus (pie la 

 somme de deux quelconques des trois nombres soil un 

 carre. 



Solution. Supposons que le rapport de I'exces du grand 

 sur le moyen soit triple de I'exces du moyen sur le plus 

 petit; nous prendrons pour le plus petit nouibre 2 — n, 

 pour le moyen in -|- 2 ; le plus grand surpasse le moyen du 

 triple de I'exees 2 ^ des deux premiers , il sera done 7 >' -f- 2. 

 Mais comme le plus petit et le moyen font en somme le carre 

 4, il faudra encore que le petit, plus le grand, savoir . • 

 6>-j-4 i Is moyen plus le grand 8 x -|-4 soient des carres , 

 ce qui sera aise ; mais il faudra que n soit moindre que 2 

 pour que le plus petit nombre 2 — 1\ soit positif. Les trois 

 carres de notre question sont done : 8 n + 4 , 6 N-f-4 6t 4 ; 

 I'exces 2 N du plus grand sur le moyen est le tiers de 6n, 

 exces du moyen sur le plus petit 4- iVous pouvons meltre 

 6N-f-4 sous la forme x^-}-\x-\- \ , alors8N-|-4 aura la 



forme -ya:' + (5 H — ^jjc-+4- Cette expression, multi- 



plice par -~ , sera encore un carre ; j'egalerai done : 



3x'-(-i2x + 9 a(3— aa,)% d'ou 0;:= '^_./ ^ '"^'s 

 puIsque6i\-)-4 = (-^ + 2)%si x <2onaN <2; or, pour que 

 JT < 3 , on pent prendre azr 5. D'ou x =z ^^— , et par suite 



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