96 MEMOIRES 



eflet un des carres vaiulra evidemment 6-| \-ni, raiitre 



64--^ "i; il est facile de determiner m, de telle sorte 



que G-j \-in soil un carre, je trouve m-=.-. — ; pour ar- 



river a ce resultat je n'ai qu'a faire m-=.-r—^ et poser 

 6-1—^ + ^ = ^, d'ou i-1-26n' = n^=(i+5n)% 

 N = — , par suite m-=z-. — . D'ou 6 -I \--, — = — -. Je 



lO ^ l\00 1 ' l\QO 10^ 



5i , II 

 pose actuellemcnt 2 -|- a n =: — , d'ou a n = . Je puis 



faire 0.-=. 1 1 , et alors n est une fraction positive. 



OBS. DE FERMAT. Le noiiibre 2 1 ne pent pas 4lre divise en 

 fractions en deux carres , nous pouvons facilement demon- 

 trer cela, etplus generalement , que tout nombre dont le tiers 

 nest pas lui-mSme divisible par trois , ne pent etre decom- 

 pose en deux carres , ni entiers ni fraclionnaires. 



Diophante pose une restriction au nombre donne dans la 1 3* ques- 

 tion, que Bachet ne parait pas saisir : Fermat en confirme I'utilite 

 dans I'observation suivante. 



OBS. DE FERMAT. Cette limitation est vraie et generate , 

 puisquelle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le 

 nombre do7ine ne soit pas impair et que le quotient de S07i 

 double , augmente d'une unite par le plus grand carre qui le 

 mesure , ne puisse etre divise par aucun nombre premier 

 egal a un multiple de 4 diminue de i. 



Ceci parait meriter quelques eclaircissements : reprenons le 

 problenie de Diophante , et appelons a le nombre entier dont il 

 I'aut augmenter chaque segment de I'uuite , le premier segment etant 



— + a; , le second sera a;, et d'apres I'enonce , on posera : 



1 1 



a -\ f-a;=j^, a-\ xtzzz", d'ou 2a+ i =:j'-|-x^. Or, 



si a etait impair et par suite de la forme in-\^i , le premier merabre 



