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je divise ^7- trois carres. a' -f p' -f Y"— IgT' "' ^ ^''^" 

 cun j'ajoute -ttj- el les parties chercliees seronl a''-f--r^, 



XXIV. Trouver Irois carres tels, que le prodult cju'ils for- 

 ment, anginento d'un quelconque d'enlre eux, fasse iin carre. 



L'obscrvation de Fcrmat doit etre pieccdce d'un sommaire de la 

 melhode iiicoinplelcinctit indiquce par Diophante. Dcsignoas les trois 

 carres cherches par a^N', /3'n^, y^>i' ; posous «'^^y'^^ = >J' ou 



a' /3' y'^ =. —r . II faudra , d'apres la condition du prol)leme , que 



^'-|-a^^•', N ' -f- /^' i^ " ) n' + v'm' soient des carres, par suite que 

 i-f-K", 1+/3', I -|-v' soient des carres, ou que a, /i, y soient cotes 

 d'un triangle rectangle dont la base serait toujours egale a i , et dont 



les aires seraient — , — , _. D'apres 1 egalite qu'on a d'abordposee, 



•2 2 2 



a,li.y=z. — ; prcuoiis « = — (i-|-a' = — ). rcrniat lorme un 



.sa ' 4 ■'^ / 



triangle avec 2 /'-f-i et /• — .v (c'cst-a-dire que cesdeux quantitessontlcs 

 valcursdcx-,y qui salisfont a I'egalite (x'— j'j -\-{ixy) =(x'-f-j^) ,) 

 ses cotes de Tangle droit scront 3r [r-Y-ns) ou ( :t;' — y" ) et 

 (■ir-\-s) (r — 5) ou ivy, et il forme un autre triangle avec r + i.s 

 et /• — s dont les cotes de Tangle droit seront 3s {ar-^s) et 



... 1 3r(r-\-is) ^ Zs[ir-^s) 



( r-\-7..s) (r — s), il prcnd ^ = , ; — —. :ety=- — ; -, 



alors cj./S.ynz '■ — ; mais r et .? sent arbitraires , on peut faire 



/ = 3i', alors (is./3.y = — '■ — , et le probleiue est resolu. Nous avons 



4 2.?)- 



suppose ({ue les trois triangles rectangles avaient un cote de Tangle 

 droit egal a Tunite , et nous avons exprime que Ic produit uj3y des 

 trois aires doublecs etait un carre, Diophante et Fermat ne supposent 

 pas que un cote des triangles qu'ils choisissent soit egal a 1, ils expri- 

 ment neanmoins que le produit de leurs trois doubles aires est un carre. 

 Au resle , des triangles dont les cotes sont des nonibres quelconques on 

 peut passer par la division a d'autrcs triangles scmblables dont un 

 cote egale i'unitc ; cela ne change en ricn la melhode que nous avons 

 indiquce. 



