DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. 107 



OBS. DE FERMAT. PouT I' elucidation et I'explication de la 

 25^ question, relative a lamethode de Diophante que Backet 

 a pareilleine^it omise, il faut chercher deux triamjlcs , tela 

 que le produit de I'kypothemiseet de la hauteur de I'un soit 

 au produit de I'hypothenuse par la hauteur de I' autre, dans 

 un rapport donne. 



Cette question qui m'a assurement longtemps {atujue{ diu 

 nos torsit ) sera eprouvee difficile par ceux qui la tenteront ; 

 enfln, nous avons dccouvert la methode fjenerale pour sa so- 

 lution. 



On veut trouver deux triangles tels, que le rectangle fait 

 avec l hypothenuse et la hauteur de T'tn, soit double du rec- 

 tangle compris sous I' hypothenuse et la hauteur de I'autre. 

 Formons un des triangles avec a, h, l' autre aver a, d fquan- 

 tites qui satisfont a (x" — j- ) ^ -j- ( 2 x y )''z=( x^-f-j^ ) ' ) , 

 le rectangle compris sous I'hypothenuse et la hauteur du 

 premier, sera : 1 h a"^ -{- ih'^ a,le rectangle compris sous 

 I'hypothenuse etla hauteur du second, sera : 2 d a^-^-'i d^ a, 

 done puisque 1 b a^ -{- 2b^ a sera double de 1 d c^ -^ id^ a, 

 on aura b a' -f" b^ a := 2 d a^ -^ -2 d^ a; divisant tout par 

 a, il r c suite : b a'' -\- b^ =2 2 d a" -\- 2 d^ et par suite 



2d^ — b^z:zba^ — 2(la', done—. — etant eqale a un 



Carre, la question sera resolue. 



II faut done chercher deux nombres b et d,par cette condi- 

 tion que le double du cube de I'un moins le cube de I'autre , 

 divise ou niultiplie par le dernier moins le double du premier 

 fasse un carre. Supposons le premier nombre n-\- i et le 

 second i. Le double du cube du premier , moins le cube du 

 second fait : 2 /i^-j-Gn'-l-G ?i-|- i, Le second, moins le dou- 

 ble du premier, donne — r — 2 n, il faudra done que le 

 produit de 2 n^ -\- 6 n"" -\- 6 n -\- i par 2 n -{- i soit un 

 carre , ce quit est facile de trouver en egalant ce produit 

 4 nH i4 »'+i8 >r4-8n-|- i a (2 )r + 4 n + i)'. f^e 



