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Carres supposes , dont la somme aussi bien que la difference 

 font un car re. Done, si. on donne deux carres , dont la 

 somme et la difference font un carre , onpourra donner en 

 nombres enliers la somme de deux carres de mdme nature 

 qui sera moindre que la premiere. Par le meme raisonne- 

 mentonen trouvera une moindre que celle quia ete trouvee 

 par le procede qui a fait trouver la premiere, ettoujours, 

 jusqud I'infini , on trouvera des nombres enliers moindres 

 ay ant la meme propriete, ce qui est impossible , parce quon 

 ne pent pas donner un nombre infini de nombres enliers 

 moindres quun nombre enticr quelconque. L'exiguile de la 

 marcje nous empeche d'inserer la demonstration complete, et 

 plus amplement expliquee. 



Par ce procede nous avons concu et confirme par de- 

 monstration quaucun nombre triangidaire , a I'exception de 

 r unite , ne pouvait ctre ecjale a une quatrieme puissance. 



DIOPHANTE. — DES NOMBRES POLYGONAUX. 



La formule des nombres polygonaux est jc-j- — (p—^) 



p designant le nombre des angles du polygone. Le livre de 

 Diopbante, dont il ne reste que quelques fragments, contient 

 quelques propositions sur les progressions arilbmetiques et 

 les nombres polygonaux. 



L Si trois nombres a , a-{-k^ a-\-2k sont en progression 

 arithmetiquc, 8 fois le produit du plus grand par le moyen 

 plus le carre du plus petit est un carre dont le cote est la 

 somme du plus grand et du double du moyen. Algebri- 

 quement 8 i^a-{-2k) (a-[-A}-f a^=(3a-[-4 A•)^ 



IL Si cinq nombres a, «-|-A'... a-^^k, sont en progres- 

 sion arilbmetiquc, I'cxces du plus grand sur le plus petit, ou 

 4 A" , est un multiple de k exprime par le nombre de termes 

 moins i. 



