f)E LACADEMIE DES SCIENCES. lit 



v()us (lirai (jue M. Fronicle m'a doiuie dopuis quolqiic temps 

 I'cnvic de decouvrir les mvsl6res des nombros, en quoi il me 

 scmhie qu'il est exlremement verse. Je lui ai onvoye Ics belles 

 propositions sur Ics progressions gcometri(|ues qui commencenl 

 a I'unile; lesqiiclles jai non-sculemont trouvces, mais encore 

 demontrees, bien que la demonstration en soil assez cachee ; 

 ce que je vous prie d'essayer, puisqne vous les avez vues. i\lais 

 voici ce que j ai decouvert depuis sur le sujel de la proposi- 

 tion 12 du V livre de Diophante; en quoi j'ai supplee ce que 

 Bachel avoue n'avoir su , et retabli en menie temps la corrup- 

 tion du lextc de Diophante; ce qui serait trop long a vous de- 

 duire. 11 suffit que vous voyiez ma proposition , et que je vous 

 fasse plulol souvenir que jai autrefois demontre qu'un nombre 

 moindre de I'unite qu'un multiple du quaternaire [de la forme 

 [ k ?i — 1 ) , n'est ni carre, ni compose de deux carr6s, ni en 

 cntiers ni en fractions. J'en demeurai la pour lors, bien qu'il y 

 ait beaucoup de nombres plus grands de I'unitd qu'un multiple 

 du quaternaire (de la forme 4 1 + 1) , qui pourtant no sont ni 

 carres, ni composes de deux carres, corame 21 , 33, 77... Ce 

 qui fait dire a Bachet, sur la division proposce de 21 en deux 

 carres; ce qui est impossible corame je pense (?to?') , parcc 

 que ce nombre n'est ni carr6, ni par sa nature compose de 

 deux carres, ou le mot [rear] marque evidemment qu'il n'a 

 pas la demonstration de cette impossibilite , laquelle j'ai cnfin 

 trouv^e el comprise dans la proposition suivante : 



Si un nombre est divise par le plus grand carr6 qui le me- 

 sure , et que le quotient se Irouve niesure [ divisible ) par un 

 nombre premier moindre de I'unite qu'un multiple du quater- 

 naire (de la forme kn — 1 ) , le nombre donne n'est ni carre , 

 ni compose de deux carres, ni en entiers ni en fractions. 

 Exemple : soil donne 84 ; le plus grand carre qui le mesure 

 est k , le quotient 21 , lequel est mesure par 3 ou bien par 7 

 moindres de I'unitd qu'un multiple de 4, je dis que 84 n'esl 

 ni carre ni compose de deux carres, ni en enliers, ni en frac- 

 tions. 



Soil donne 77 ; le plus grand carre qui le mesure est 1 ; le 



