DE l'aCADEMIE DES SCIENCES. i h 3 



( 2-"'-+- 1); car, hien que jc reduise I'exclusion a la pluparl 

 dcs nombres , et que j'aie meme des raisoiis probables pour le 

 reste, je n'ai pu encore (16montrer nocessairemenl la verile de 

 celte proposition .. ( Euler a fait voir qu'elle Hi\\[ inexacle ). 



II me senible qu'il m'importe dc vous dire le fondcmenl 



sur lequel j'appuie les demonstrations de tout ce qui concerne 

 les progressions geometriques , qui est lei : 



Tout nombre premier mesure (divise) infailliblcmenl unc 

 des puissances — 1 de quelquc progression que ce soil , el I'ex- 

 posant dc ladile puissance est sous-multiple du nombre pre- 

 mier — 1 , et apres qu'on a trouve la premiere puissance qui 

 salisfait a la question, toules celles donl les exposanls sonl mul- 

 tiples de I'exposant de la premiere satisfont de meme a la 

 question. 



Exemple : soil la suite 3' , 9^, 27^ 81* , 243% 729 s 



Prenez par exemple le nombre premier 13, il mesure (divise ) 

 la Iroisieme puissance — 1 , dans laquelle 3 est sous-multiple 

 de 12 , qui est moindre de I'uniti^ que 1 3 ( i 3 divise 27 ^ — 1 ). 

 Et parce que I'exposant 6 de 729 est multiple de 3, 13 divise 

 aussi 729 s — 1 ; et celte proposition est gen^ralement vraie 

 en toutes progressions et en tous nombres premiers , de quoi 

 je vous enverrais la demonstration si je n'apprehendais d'etre 

 trop long. iMais il n'est pas vrai que tout nombre premier mesure 

 une puissance -f- 1 en toule sorle de progression. Car si la pre- 

 miere puissance — 1 , qui est mesuree par ledit nombre pre- 

 mier, a pour exposant un nombre impair, en ce cas il n'y a 

 aucune puissance -f- 1 dans loute la progression qui soil me- 

 suree par ledit nombre premier. 



Exemple : Parce qu'en la progression double, 28 mesure la 

 puissance 11™* — 1 : ledit nombre 23 ne mesurera aucune 

 puissance H- 1 dela progression a I'infini. 



Que si la premiere puissance — 1 , qui est mesuree par 

 le nombre premier donne, a pour exposant un nombre pair, 

 en ce cas la puissance -f- 1 , qui a pour exposant la moiti6 

 dudit premier exposant, sera mesuree par le nombre premier 

 donn^. 



