382 MEMOIRES 



ri/IZIZZ=sinV?(f,+c') 



ce qui fail voir que la transformee est line sinusoide; la va- 

 leur do C se deduirait de celte meme equation en rcmpla^ant 

 c et 2 par leurs valeurs initiales c^ et //. 



Si la quantite K , qui est la conq)osante de la vitesse ini- 

 tiale , perpendiculairement aux generatrices, etait nulle, le 

 point materiel oscillerail sur la surface de part et d'autre de la 

 generalrice la plus basse oz, et en outre la duree des oscil- 

 lations serait independante du point de depart. G'est qu'on 

 deduirait de I'equation (2), en changeant r/c en —ds, parce 

 que a diminue quand le temps augmente : on trouverait ainsi 



pour la duree d'une oscillation entiere 2t:\/ — ■. — .La surface 



I V g- silly 



cylindrique qui possede eette propriete est done une surface 

 tautochrone. 



Si la courbe AB etait une parabole cubique dont on 

 prendrait I'axe pour la ligne oj: et le sommet pour origine 

 des coordonnees, on aurait 



la formule (4^ deviendrait 



i^-^Vi 



q 

 I -^ya^x 



4 



K' — V'K'''— aecosvrz — 7i')=:o-coSY /, dx\ ^— : — ; jr. 



Si Ton pose u=.\ - — ; ^ — ; -, on trouvera pour 



1 ' K" -(- 2 g sin y (x — h) ^ 



I'integrale du second membre 



J ZayJig^myL 4 V agsmy^J 



tbu 1 , 1 -{-bin 



2(1— 6»«')~"4 1 — i>uj ' 



en faisant, pour abreger, 



~ 3a • 



