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Pour etendre cette relation a des equations dillerentiel- 

 les d'un ordre plus eleve, nous partirons d'une formule 

 de calcul dillerentiel qu'il est aise de demontrer. On sait 

 que a elb designant deux fonctions d'une nieme variable, 

 la diflerentielle de I'ordre ni du produit a h pent s'ecrire 

 ainsi : 



d'" (ab)=zd"' a.b-\-ni.d"'~^ a.db-\-etc... -\-a.d'" b. 

 Or cette formule bien connne peut encore prendre cette 

 forme : 



d'" {a.b)=d"' . a.b-\-'nid"'-'{a. db)—'' 



'"^";~'^ d"'-(a.d^b)-{....±a.d'-b. ]^^^- 



Les coefficients sont ceux du binome, et les termes apres 

 le premier sont alternativement positifs et negatifs. A 

 I'exception des deux termes extremes , tons les autres sont 

 des dillerentiellcs exactes. 



Partant de cette relation , considerons une fonction Z 

 de ^ , (j; , (p , ^' , (J;' , ip' , ^", (];", (p", qui satisfjisse a trois re- 

 lations telles que : 



/f-\ I 7, '^^Z . , I ,dZ dZ 



^^> t^"^^^'-^+!^'v/^;7i'-^=°' ^tc, etc., 

 et deux autres pareilles , relatives aux variables i{/ , (p. [^. et 

 [;/ sont des coefficients egaux a -j- i ou — i. Je dis que le 

 systeme de ces trois equations donnera lieu a trois rela- 

 tions analogues a celle trouvee par Lagrange. Pour le 

 prouver, je differentie les equations (5) par rapport a la 

 caracteristique^ relative aquelques constantes, etje multi- 

 plie la premiere equation de ce groupe par A^, la deuxieme 

 par Ai{/, la troisieme par Acp. J'ajoute les trois equations 

 apres avoir fait passer A^, A<|^, Acp sous les signes de diffe- 

 rentiation , je reraarque ensuite que d'apres la formule (4) : 



J-d^(8^,.^l)=-^d^^-^^^li.^d.(s'^,yi^l') 



di' \ d^ ) de d^ ^ ^ dt \ dl' ) 



^ dZ y.,, 1 ,/^aZ y\ 1 , S dZ ». , •^dZ y, 



