162 



B. Är åter denna summa noll, så måste punkten vara ijemvigt. Ty 



i motsatt fall kan jemvigten åstadkommas derigenom, att man inför 



en kraft af lämplig storlek och rigtning. Vi vilja kalla densamma R 



och dess vinklar mot positiva coordinataxlarne A, B, C. Förmedelst 



denna kraft bör nu jemvigt äga rum och tillfölje af jemvigten eqva- 



tionen 



2 (Xåx + YSy + Z8%) + R (Cos ASx + Cos Bdy + Cos CSz) = . . .(11 ) 



vara sann för alla åx, dy, dz, som kunna tagas ur eqvationen (9). 

 Men då enligt antagande 



2 {Xåx + YSy + Zåz) = 0, 

 så måste således äfven 



R(CosAåx + Cos BSy + Cos 03 *) = 

 satisfieras, och denna eqvation visar, att den kraft, som vi ponerat 

 behöflig för jemvigten, måste vara noll eller vinkelrät mot ytan, och 

 att således i sjelfva verket ingen ny kraft behöfves. 

 Obs. Den för punktens jemvigt på ytan nödvändiga men också till- 

 räckliga eqvationen 



2 (Xåx + Ydy + Z8%) = 

 betyder, att Cosinus för vinkelen mellan tangentplanet i x,y,z 

 och rigtningen af de i denna punkt applicerade krafternas re- 

 sultant är noll, och således resultanten normal mot ytan. # 



Exempel 1. 



Om en punkt, som kan röra sig på en sfer, attraheras af 2:ne 

 krafter, som hafva sina attractionscentra, den ena i en punkt på z- 

 axeln, den andra i en punkt på a--axeln, så vill man veta, hvarest 

 punkten är i jemvigt. 

 Sferens eqvation må heta 



it Cl . n Q 



x + y + * = r • 



Coordinaterna för de båda attractionscentra äro x — 0, y=0, z = a 

 och x = b, y = 0, z = samt krafterna P och Q sjelfva directe 

 proportionella mot de attraherande punkternas massor och inverse 

 proportionella mot afståndens qvadrater, således 



fm 



P = 



Q = 



x 2 +y l + (*— a)- 

 fm x 



(x—by+y^+z? 



Cosinus för de vinklar a, /?, y och a n jS ls y,, som krafterna P och 

 Q göra med positiva coordinataxlarne äro gifna genom följande eqva- 

 tioner: 



