169 



Kalla den sökta kraften P och dess vinklar mot positiva coor- 

 dinataxlarna a, b, c. Emedan jemvigt skall inträda, sedan man in- 

 fört P, så måste 



(PCos«+ QCosl+RCosa) 8x+(PCosp+ QCos/i+RCosV)8if+ (PCosy+ QCosv+RCosc~)§z = O 



vara sann, hvilka värden man än må gifva åt öx, dy, å-z. Men 

 detta kan endast inträffa, om 



PCos« + QCosl + RCosa = 0, 1 



PCos § + QCosf.i + PCos b = , > (12) 



PCos / + Q Cos v + R Cos c = . J 



Följaktligen måste dessa eqvationer äfven satisfieras och gifva i för- 

 ening med 



Cos- a 4- Cos-& + Cos- c = 1 



fullständigt våra obekanta R, a, b, c. Kallas de vinklar, som den 

 mot P och Q, gemensamma perpendikeln gör med positiva coordinat- 

 axlarna A, B, O, så äro 



Cos a Cos A + Cos jS Cos B + Cos y Cos 0=0, 

 Cos X Cos A + Cos fi Cos B + Cos v Cos 0=0, 



och häraf följer, att om eqvationerna (12) multipliceras respective med 

 Cos .4, Cos B, Cos O och adderas, så finna vi 



Cos a Cos A + Cos b Cos B + Cos c Cos 0=0, 

 en eqvation, som visar, att R bör ligga i samma plan, som P och 

 Q. Hvad storleken af R beträffar, så är den 



R = V pi + Q'- + 2P(2[Cos«CosÅ + Cos,iCos,u + Cos; Coso>} 



och således lika med diagonalen i den parallelogram, som uppritas 

 öfver P och Q såsom närliggande sidor. 



Af formlerna 



PCos a + Q Cos A 



Cos a = — 

 Cos b = — 

 Cos c = — 



P 



PCosp' + QCos/.t 

 P 



PCosy + $Cosv 



P 



synes, att P äfven till rigtning sammanfaller med diagonalens för- 

 längning utanför parallelogrammen. 



